Roulette Russa

[Ospite Belfahgor]

supponiamo di essere sei concorrenti e di partecipare al gioco della roulette russa con un caricatore da sei ed un solo proiettile.

il montepremi da dividersi tra i concorrenti è di 5 milioni di euro.

come verranno suddivisi i premi?

[Ospite Belfahgor]

naturalmente è un gioco che non mi interessa... ma ho visto recentemente un film, Alive, che forse qualcuno di voi avrà visto, che parla dell'argomento. si ipotizza uno show televisivo dove sei concorrenti partecipano al gioco. il film è ben girato, ha buon ritmo e mette bene in risalto i lati oscuri dello show mediatico, ma secondo me ha una pecca e la cosa mi è subito saltata all'occhio. non so se si tratta di un blooper o se è stato fatto di proposito, ma la regola del gioco mi pare assurda. a 5 dei 6 concorrenti viene dato un premio di un milione di euro. ma il primo concorrente a tirare ha 1 probabilità su 6 di trovare il proiettile vero, il secondo 1 su 5 e via dicendo... il premio dovrebbe aumentare progressivamente. non mi ha scandalizzato molto il fatto che questi si giochino la pelle per soldi, ognuno è libero di fare ciò che vuole della propria vita, ma il fatto che accettino delle regole tanto inique e che l'ideatore del gioco le proponga.

[Kalel]

il primo concorrente a tirare ha 1 probabilità su 6 di trovare il proiettile vero, il secondo 1 su 5 e via dicendo...

Anche il secondo, ecc. ha probabilità 1/6 di trovare il proiettile: la pistola ha sempre sei colpi di cui uno pieno.

Puoi vederlo come un dado a 6 facce dove ad es. l'1 significa che hai perso (per sempre)

[jackjoliet]

Bisogna semplicemente capire se dopo ogni tentativo i tamburo viene girato a caso (io il film non l'ho visto) in questo caso, il "mazzo" si rimescola e ognuno ha le stesse probablità dell'altro.

[Ospite Belfahgor]

Bisogna semplicemente capire se dopo ogni tentativo i tamburo viene girato a caso (io il film non l'ho visto) in questo caso, il "mazzo" si rimescola e ognuno ha le stesse probablità dell'altro.

no. difatti ne premiano solo 5 su 6. se girassero il tamburo potrebbero vincere tutti e 6.

è un dado a sei facce dalle quali ad ogni tiro togli una faccia.

il primo tira e va a vuoto... al secondo restano 5 tiri (uno a vuoto è già andato) nei quali vi è il proiettile vero. le probabilità non sono le stesse, ma il premio è uguale.

[Kalel]

è un dado a sei facce dalle quali ad ogni tiro togli una faccia.

il primo tira e va a vuoto... al secondo restano 5 tiri (uno a vuoto è già andato) nei quali vi è il proiettile vero. le probabilità non sono le stesse, ma il premio è uguale.

Per "roulette russa" avevo in mente quella che si vede nel film "Il cacciatore" dove il tamburo veniva girato ogni volta.

Allora è come dici e il premio dovrebbe essere crescente.

[Ospite Belfahgor]

nel film non si vede girare il tamburo ma si intuisce che non gira proprio per il fatto che non a tutti e 6 i concorrenti viene data la possibilità di vincere. forse lo sceneggiatore ha inserito questa regola per rendere il gioco ancora più drammatico ipotizzando una morte certa. ma non è nemmeno certa perché i primi cinque potrebbero andare tutti a vuoto ed il sesto non sarebbe così cretino da suicidarsi. di solito gli sceneggiatori non fanno errori così grossolani.

[d3mon]

Bisogna semplicemente capire se dopo ogni tentativo i tamburo viene girato a caso (io il film non l'ho visto) in questo caso, il "mazzo" si rimescola e ognuno ha le stesse probablità dell'altro.

no. difatti ne premiano solo 5 su 6. se girassero il tamburo potrebbero vincere tutti e 6.

è un dado a sei facce dalle quali ad ogni tiro togli una faccia.

il primo tira e va a vuoto... al secondo restano 5 tiri (uno a vuoto è già andato) nei quali vi è il proiettile vero. le probabilità non sono le stesse, ma il premio è uguale.

Non è così. La probabilità è 1/6 proprio perché non viene rimescolato, anzi è proprio se venisse rimescolato che calerebbe la probabilità e sarebbe favorito l'ultimo.

La spiegazione è anche abbastanza intuitiva, e si può fare riprendendo l'esempio del dado. L'errore di fondo nel raggionamento fatto finora è che in realtà il caso si definisce al momento di scegliere le posizioni, prima di iniziare a sparare, e non quando effettivamente si spara. In poche parole si deve tirare il dado una sola volta per stabilire la posizione (che è fissa) del perdente: numerati i concorrenti dall'1 al 6, il dado rappresenta la posizione del proiettile nel tamburo che corrisponderà a quella del concorrente perdente. Il fatto che il 6° dopo 5 vuoti si ritiri, infine, sarebbe una "violazione del regolamento" ed effettivamente potrebbe sembrare che fa saltare i conti: se però estrapoli la cosa dal contesto, con un semplice "hai perso" anzichè la morte, ti accorgi che ai fini statistici è ininfluente.

L'esempio che invece facevi di tirare un dado togliendo ogni volta una faccia sarebbe come far variare la posizione del proiettile in un tamburo sempre più piccolo, ed a ben vedere non rispecchia la situazione descritta. Se ad esempio il proiettile all'inizio fosse nella terza posizione, creperà sempre e comunque il terzo che sparerà; ovvero dopo che spara il secondo, il terzo avrà il 100% di morire e non una possibilità su 4, perchè appunto non si rimescola ma rimane fermo lì.

Riguardo il rimescolamento invece, come dicevo, aiuta chi spara per ultimo anzichè mantenere costante la probabilità a 1/6 come dicevate: quello sarebbe vero se tutti facessero un solo giro, indipendentemente se muore qualcuno prima di loro e rimettendo il proiettile in quel caso. A quel punto allora effettivamente non importerebbe la posizione nè del proiettile nè dell'ordine in cui si spara, ma potrebbe morire nessuno o più persone.

La probabilità invece cala con le "regole de Il Cacciatore", perché bisogna calcolare la probabilità che si prema il grilletto: in pratica se il primo è sicuro di farlo, per i successivi è 5/6 (ovvero la probabilità contraria della morte del precedente) della probabilità che prema il precedente.

- il primo ha 1/6 di probabilità di morire ed il 100% di sparare. Probabilità 1/6 * 6/6 = 16,67%

- il secondo ha 1/6 di probabilità di morire, ma ha 5/6 di probalità di sparare. Probabilità 1/6*5/6 = 13,89%

- il terzo ha 1/6 di probabilità di morire, ma 25/36 (5/6 * 5/6) di probabilità di sparare. Probabilità 1/6*25/36 = 11,574%

E così via, considerando che il sesto ha il 6,7%, e poi si deve ricominciare il giro! Il calcolo è (5^n-1)/6^n , dove "^" è l'elevamento a potenza ed "n" è il turno (dove 7 è la seconda volta del primo e così via).

Analizzando i casi, nel primo esempio gli eventi sono dipendenti e sommati fanno effettivamente il 100%. Nel secondo sono invece indipendenti (è ininfluente il risultato del precedente), ed è per questo che può morire nessuno o più. Anche nel terzo sono dipendenti, e sommando le infinite possibilità, via via meno probabili, si arriverà al 100%.

EDIT: lo aggiungo perchè può essere interessante: nel primo caso se si fa lo schemino delle probabilità di morire e di sparare, riprendendo l'esempio del proiettile alla terza posizione:

- il primo ha 0% di morire e 100% di sparare

- il secondo ha lo 0% di morire ed il 100% di sparare

- terzo ha il 100% di morire e 100% di sparare. E' quindi questo che da solo fa il 100%

- quarto, quinto e sesto, 0 e 0.

Similmente sarà se si ipotizza il proiettile in altra posizione, con le probabilità che vanno quindi in realtà calcolate prima di iniziare. A maggiore riprova che, anche se il pathos è tutto da quando si comincia a premere a quando esplode il colpo, in realtà i giochi si fanno al momento di sedersi e alla (unica) girata del tamburo.

Riassumendo, nel primo caso è giusto che il premio sia equidiviso tra tutti i concorrenti, anche quelli che non avessero sparato, mentre nell'ultimo il calcolo è più complicato, ma sicuramente dovrebbe andare a decrescere e non pagherebbe chi non avesse mai sparato.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro

In caso contrario, magari "ricordatemi il topic" con un messaggio privato

Modificato: 13 settembre 2010 da d3mon

[jackjoliet]

Non è così. La probabilità è 1/6 proprio perché non viene rimescolato, anzi è proprio se venisse rimescolato che calerebbe la probabilità e sarebbe favorito l'ultimo.

se il tamburo non viene rigirato ad ogni tentativo, e per esempio, si dovesse arrivare al quinto aspirante suicida, questi avrebbe il 50% di probabilità di beccarsi una pallottola in testa, altro che 1/6.

[d3mon]

se il tamburo non viene rigirato ad ogni tentativo, e per esempio, si dovesse arrivare al quinto aspirante suicida, questi avrebbe il 50% di probabilità di beccarsi una pallottola in testa, altro che 1/6.

Hai letto quello che ho scritto sopra nell'EDIT? la probabilità sarà 0% o 100%, in base all'1/6 iniziale

Qualora si arrivasse al quinto non ci sarebbe alcun rimescolamento, per cui non puoi fare il 50%. In altre parole: se la pallottola fosse effettivamente in quinta posizione, quale 50% potrebbe cambiarne il posto?

EDIT: se la vuoi vedere in altro modo, ci sono 2/6 possibilità di arrivare (almeno) al 5°. A quel punto effettivamente c'è il 50% dei 2/6, e quindi si torna all'1/6 di cui sopra

Come dicevo si tratta di eventi dipendenti, per cui si devono moltiplicare le percentuali per fare un conto esatto.

Se andiamo ad espandere le probabilità come avevo fatto con le "regole de Il Cacciatore", ovvero moltiplicando la probabilità di premere il grilletto con quella di rimanerci secco, succede questo:

- il primo ha 1/6 di morire, ma il 100% di premere = 1/6*1 = 0,1667

- il secondo ha 1/5 di morire, ma 5/6 di premere = 1/5*5/6=0,1667

- il terzo ha 1/4 di morire, ma 4/5 dei 5/6 di premere = 1/4*4/5*5/6=0,1667

- il quarto ha 1/3 di morire, ma 3/4 dei 4/5*5/6 di premere = 1/3*3/4*4/5*5/6=0,1667

- il quinto ha 1/2 di morire, ma 2/3 dei 3/4*4/5*5/6 di premere = 1/2*2/3*3/4*4/5*5/6=0,1667

- il sesto ha il 100% di morire, ma 1/2 dei 2/3*3/4*4/5*5/6 di premere = 1*1/2*2/3*3/4*4=0,1667

A ben vedere la probabilità che il quinto spari è solo 1/3: non puoi ignorare che in 2 casi su 3 questo può vincere senza nemmeno prendere la pistola in mano.

Chiaramente era però più facile fare il calcolo dando per conosciuta la posizione del proiettile nel caricatore (che potrebbe conoscere un osservatore esterno), dato che statisticamente porta agli stessi risultati

Modificato: 14 settembre 2010 da d3mon

[Ospite Belfahgor]

o x x x x x 1/6

x x x x x o 0/5

x x x x o n 0/4

x x x o n n 0/3

x x o n n n 0/2

x o n n n n 0/1

x o x x x x 1/6

o x x x x n 1/5

x x x x n o 0/4

x x x n o n 0/3

x x n o n n 0/2

x n o n n n 0/1

x x o x x x 1/6

x o x x x n 1/5

o x x x n n 1/4

x x x n n o 0/3

x x n n o n 0/2

x n n o n o 0/1

x x x o x x 1/6

x x o x x n 1/5

x o x x n n 1/4

o x x n n n 1/3

x x n n n o 0/2

x n n n o n 0/1

x x x x o x 1/6

x x x o x n 1/5

x x o x n n 1/4

x o x n n n 1/3

o x n n n n 1/2

x n n n n o 0/1

x x x x x o 1/6

x x x x o n 1/5

x x x o n n 1/4

x x o n n n 1/3

x o n n n n 1/2

o n n n n n 1/1

prima del gioco tutti hanno 1 probabilità su 6 ma man mano che il gioco avanza, il tamburo si restringe.

[d3mon]

prima del gioco tutti hanno 1 probabilità su 6 ma man mano che il gioco avanza, il tamburo si restringe.

Sì, ma la posizione del proiettile non cambia. Viceversa se tieni aleatoria la posizione del proiettile devi calcolare le probabilità dei risultati precedenti.

comunque spiegami la lettura del grafico: presumo che la x è il tiro vuoto, la o l'esplosione e la n il non tiro. Ma non capisco se devo leggerlo in verticale o in orizzontale.

[Ospite Belfahgor]

in orizzontale.

x=colpo da tirare

o=proiettile

n=colpo già tirato

[d3mon]

ok, però continuo a non riuscire a capire come l'hai compilato. La posizione del proiettile perché varia nelle sestine?

La sestina non simula un ciclo completo di spari?

comunque prendo ad esempio la prima riga:

o x x x x x 1/6

se il proiettile sta alla fine, (suppongo si legga da dx a sinistra, visto che i colpi tirati "a vuoto" vengono da dx nelle righe seguenti), il primo ha 0% di crepare.

Resto comunque convinto che non c'ho capito nulla di come vada letto

Ad ogni modo la situazione si può semplificare semplicemente così:

1) concordiamo che posizione di concorrenti e/o proiettile è casuale? (si può anche fissare una delle due e far variare l'altra, non cambia nulla, sempre 1/6)

2) concordiamo che la posizione dei concorrenti e proiettile rimane fissa? (per il proettile si intende fissa nel senso che si sposta solidarmente col tamburo)

3) per i punti precedenti, possiamo concordare che la posizione del proiettile nel tamburo corrisponderà alla posizione del tizio che se lo beccherà?

Se fino a qui siamo daccordo, già potremmo concludere che tutti i concorrenti hanno 1/6 di probabilità di beccarsi il proiettile, e non solo il primo.

Ad ogni modo gli scenari possibili sono solo 6, che corrispondono alle 6 posizioni possibili del proiettile (indice della riga). Si può quindi "condensare" in una sola riga l'andamento di tutta la "partita", mentre sulle colonne c'è il giocatore (A-F):

\ A B C D E F

1 O n n n n n

2 x O n n n n

3 x x O n n n

4 x x x O n n

5 x x x x O n

6 x x x x x O

Uso la nomenclatura che avevo precedentemente ipotizzato: x è il tiro vuoto, la O l'esplosione e la n il non tiro. Per esempio alla seconda riga il giocatore A tira a vuoto, B si prende il proiettile e gli altri (C-F) di conseguenza non premono.

Ora poichè si vince anche se non si è sparato, il grafico diventa così : V-vince, P-perde

\ A B C D E F

1 P V V V V V

2 V P V V V V

3 V V P V V V

4 V V V P V V

5 V V V V P V

6 V V V V V P

Dove in ogni colonna (giocatore) c'è una P e 5 V.

EDIT: credo di aver capito il tuo grafico, almeno nel calcolo delle percentuali a lato anche se non mi torna bene il criterio con cui hai messo il proiettile.

Se ben capisco, le percentuali "si fermano" quando il proiettile viene esploso, ed ogni sestina rappresenta la posizione del proiettile nel tamburo. A ben vedere, però, devi andare a sommare tutte le possibili situazioni: ne verrà fuori quindi che il primo in tutti e 6 i casi deve tentare la sorte, mentre l'ultimo avrà sì la certezza di rimanere ucciso, ma solo una volta su 6, mentre nelle altre 5 nemmeno deve provare. Se quindi appunto vai a sovrapporre le 6 sestine e sommi le percentuali, ti accorgerai che si arriva per ogni giocatore ad un totale di 1 (100%, proprio perchè si sommano 6 possibili turni).

Ripeto: il problema è che consideri la situazione in una situazione avanzata fregandotene delle combinazioni che ti hanno portato in quella situazione. E' vero che quando rimangono 2 giocatori questi hanno il 50% di morire, ma quanto spesso si rimarrà con 2 giocatori?

E' un po' come quando si parla delle serie alla roulette: se sono usciti 3 neri hai il 50% (ignoriamo per semplicità lo zero) che esca un altro nero, ma non per questo far uscire una serie di 4 neri (da condizioni iniziali nulle) ha una probabilità del 50%. Prova magari ad astrarre facendoti un paragone con le serie alla roulette, che non ha il fattore "emotivo" dovuto alla morte.

NB: in ogni caso però non cominciamo a parlare di Roulette, altrimenti non finiamo più

Modificato: 14 settembre 2010 da d3mon

[Ospite Belfahgor]

1/6 oxxxxxx

....o

x.......x

x.......x

....x

---------------

0/5 xxxxxxo

....x

x.......o

x.......x

....x

--------------

0/4 xxxxon

....x

x.......n

x.......o

....x

---------------

ecc.

Modificato: 14 settembre 2010 da Belfahgor

[d3mon]

ok, quindi in ogni riga c'è la precisa posizione del proiettile nel caricatore nei vari istanti. Beh... ho ora capito come si legge il grafico, ma non capisco perché fare una cosa del genere!

Se sai dov'è il proiettile, non puoi fare una statistica: in quel caso non c'è alea, l'evento è deterministico e quindi le percentuali possono essere solo 0 o 100%. L'unica cosa che rimane random è la posizione iniziale del proiettile, quindi in quale delle 6 sestine ci troviamo.

Sempre riferendoci alle sole prime righe, avrai 100% nella prima sestina (col proiettile "in canna", che verrà sicuramente sparato) e 0% nelle altre (se il proiettile non è "in canna" non c'è possibilità che venga sparato). Similmente per le altre righe delle altre sestine.

[Ospite Belfahgor]

quindi ragionando sui tiri buoni:

primo giocatore: 5 su 6

secondo : 4 su 5

terzo : 3 su 4

quarto : 2 su 3

quinto : 1 su 2

sesto : R.I.P.

effettivamente le probabilità sono le stesse.

[d3mon]

effettivamente le probabilità sono le stesse.

Considerando che ci devi aggiungere gli eventi in cui non si spara, sì.

Edit: se ti va, prova a rifarti i conti che avevo fatto al post 10 ;)

Fermo restando che è più semplice la strada in cui si mette l'osservatore esterno che conosce la posizione del proiettile.

Modificato: 15 settembre 2010 da d3mon

[jackjoliet]

Questo discorso ricorda il "teorema" delle porte, diventato famoso quando in un programma (se non ricordo male americano) il presentatore chiedeva al concorrente di scegliere una porta delle tre possibili. Dietro le porte c'erano nascoste due pecore e una ferrari e ovviamente lo scopo del gioco era indovinare la porta con la ferrari.

Dopo la scelta il presentatore lasciava chiusa la porta indicata dal concorrente e ne apriva una delle altre due (quella dove lui sapeva esserci una pecora) e a quel punto chiedeva al concorrente di scegliere se confermare la sua porta o cambiarla con l'unica rimasta.

Ovviamente conveniva cambiare perché inizialmente il concorrente aveva 1 probabilità su 3 di indovinare, dopo invece ne aveva 1 su 2..

Ora non so se l'esempio si può accostare, e probabilmente avrà ragione D3mon.. ma per quanto mi riguarda se dovessi nella mia vita essere un giorno coinvolto in questa roulette io preferirei sparare per primo..

[Ospite Belfahgor]

qui non si tratta di indovinare. non puoi scegliere. come dice giustamente D3mon tu non sai dove si trova il proiettile, quindi le probabilità sono le stesse.

5 su 6

4 su 5

3 su 4

2 su 3

1 su 2

è esattamente la stessa cosa.

abbiamo l'illusione di avere più possibilità tirando per primi ma non è così.

[jackjoliet]

Sarà un'illusione, ma ribadisco che io sceglierei di avere 5 probabilità su 6 di sopravvivere piusttosto che 1 su 2

[valterzaia]

condivido JJ condivido in pieno

aiaz..valter

[Ospite Belfahgor]

praticamente danno un milione a ciascun concorrente per tirare, poi estraggono a sorte l'ordine di tiro. quello che muore restituisce il premio. quindi i premi sono distribuiti correttamente.

però l'ultimo non rischia praticamente nulla.

[Ospite Belfahgor]

però è allucinante la scena dei concorrenti che festeggiano quando uno si fa saltare la testa...

il film è questo: Live!

Modificato: 16 settembre 2010 da Belfahgor

[d3mon]

Sarà un'illusione, ma ribadisco che io sceglierei di avere 5 probabilità su 6 di sopravvivere piusttosto che 1 su 2

... piuttosto che 1 su 2, ma con 1 su 3 di NON dover nemmeno prendere la pistola in mano.

Il gioco della porta è diverso nelle conclusioni, ma è vero che anche lì ci si deve focalizzare sulle condizioni iniziali. La caratteristica è che il presentatore, conoscendone il contenuto, apre una porta sicuramente perdente, modificando le carte in tavola (il proiettile invece non si sposta). Il problema è proprio che la scelta della porta da aprire non è casuale, per cui la porta con cui si può fare lo scambio "vale doppio" rispetto le condizioni iniziali.

Ne scrivo un'altro piccolo ma simpatico. Tiro due monete: se almeno una delle due è testa, qual è la probabilità che siano entrambe testa?

Qui più che statistica ci vuole un po' di attenzione

EDIT: @ Belfahgor : hanno segato il link

Modificato: 16 settembre 2010 da d3mon