Giochino Per Tutti. Divertiamoci Un Po'.

[il Prof.]

Forse molti di voi avranno già la risposta nella testa, poiché effettivamente è abbastanza banale come concetto se si conosce un minimo di matematica, ma lo propongo lo stesso, tanto per divertimento.

Pensiamo ad un numero della Roulette (per semplicità eliminiamo lo Zero), ad esempio il 19 (ma potete benissimo pensare ad un altro numero).

Qual è la probabilità che il 19, che è uno dei trentasei numeri della Roulette, per cui la sua probabilità di sortita è di 1/36, sia presente nei primi 35 lanci, dandoci quindi sicuramente una vincita?

Possiamo usare tale probabilità a nostro favore?
Se sì perché sì, se no perché no?

Un saluto.

[Nanduzzz]

Se restiamo nel casuale ( e non nel CAUSALE), la probabilita' e' sempre una su 35 fermo restando che potrebbe non uscire per 35000 lanci......

[il Prof.]

Perché mai dovrebbe essere 1/35 se i numeri sono 36?

[Kalel]

La prob. che un numero (su roulette senza zero) appaia almeno una volta in 35 lanci è: 1 - (35/36)³⁵ = 62,7% circa

[il Prof.]

Perfetto Kalel, quindi abbiamo il 62,7% di vincere puntando un qualunque numero per un massimo di 35 lanci. Ma il gioco non è finito. Possiamo usare questa probabilità a nostro vantaggio? Voglio dire: puntando un qualunque numero a massa pari per un massimo di 35 volte, vincerò 63 volte su 100. Non è incredibile? Dove sta "il trucco"?

[tonino]

Nessun trucco per via dell'inflazione, più vai avanti e più il tuo potere d'acquisto(guadagno) si riduce

[Kalel]

Considerando 1000 partite (i decimali sono importanti) avrai in media che:

- per 373 volte perderai 35 pezzi: -13055

- per 627 volte vincerai da 1 a 35 pezzi: il totale sarà a volte più, a volte meno di quanto hai perso.

Ci saranno anche oscillazioni tra il numero delle volte che hai perso che, di nuovo, renderanno le tue 1000 partite (in totale) vincenti o perdenti.

Se ci spingiamo su grandi numeri, dovremmo tendere al pareggio (roulette senza zero).

[jackjoliet]

Mi riallaccio qua e chiedo un confronto ai matematici del forum sul così detto "paradosso del compleanno" secondo il quale la probabilità di trovare all'interno di un gruppo due persone che fanno il compleanno lo stesso giorno è più alta di quanto l'intuito ci suggerisce.

Io (a quanto pare erroneamente) calcolavo la probabilità come se fosse un'estrazione e cioè nel seguente modo:

la prima persona avrà una data qualsiasi di compleanno

la seconda persona che scegliamo a caso (che ne so, immaginate di chiedere uno ad uno ai passeggeri di un treno), avrà 1 probabilità su 365 di fare il compleanno lo stesso giorno della prima

la terza persona avrà 2 possibilità su 365

la quarta avrà 3/365.... e così via fino ad arrivare all'ultima che avrà 365 su 365 cioè la certezza, di avere la propria data che coincide con una già sorteggiata in precedenza.

In questo modo io ottenevo che, ad esempio, avendo già un gruppo di 50 persone con date uno diversa dall'altra, la 51esima avrebbe avuto 50\365 probabilità di far coincidere la propria data, cioè circa una possibilità su 7.

Così non è.

Stando alla formula con 50 persone abbiamo circa il 97% di possibilità di trovare una coincidenza..

qui il link di wiki dove viene spiegato il procedimento matematico:

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_compleanno

quindi la mia domanda è questa:

Perchè non si può applicare il paradosso del compleanno anche ai numeri della roulette?

Estrarre una ad una delle persone fino a che non si trova un "doppione" non è uguale ad aspettare un numero ripetuto all'interno di una permanenza?

In questo caso già alla quinta estrazione, dovremmo avere il 97% di probabilità di imbatterci in una ripetizione.. perchè questo non succede?

[il Prof.]

Considerando 1000 partite (i decimali sono importanti) avrai in media che:

- per 373 volte perderai 35 pezzi: -13055

- per 627 volte vincerai da 1 a 35 pezzi: il totale sarà a volte più, a volte meno di quanto hai perso.

Ci saranno anche oscillazioni tra il numero delle volte che hai perso che, di nuovo, renderanno le tue 1000 partite (in totale) vincenti o perdenti.

Se ci spingiamo su grandi numeri, dovremmo tendere al pareggio (roulette senza zero).

Più o meno ci siamo, come risposta. Nel senso che mi sarebbe piaciuto di più che qualcuno dicesse "è vero che si vince mediamente quasi il 63% delle volte, ma in ogni singola perdita di quel restante 37% si perde mediamente di più che per ogni singola vincita del suddetto 63". Ad ogni modo il problema è questo. In un gioco casuale conta il valore atteso: se il valore atteso è 0 (nella roulette senza lo zero, altrimenti è negativo), qualsiasi cosa si decida di fare, il risultato sarà 0. Le percentuali di probabilità di vincita e di perdita contano, ma solo relativamente e comunque mai unicamente. Contano solo se considerate assieme alla cifra vinta o persa. Giocare 35 numeri pieni su 36 ha un'altissima probabilità di vincita, ad esempio, ma la puntata sarebbe troppo alta rispetto alla vincita ed una progressione in tal senso sarebbe solo per milionari. Dobbiamo sempre considerare il tutto, ma l'unica cosa che ha sempre ragione è il valore atteso.

Mi riallaccio qua e chiedo un confronto ai matematici del forum sul così detto "paradosso del compleanno" secondo il quale la probabilità di trovare all'interno di un gruppo due persone che fanno il compleanno lo stesso giorno è più alta di quanto l'intuito ci suggerisce.

Io (a quanto pare erroneamente) calcolavo la probabilità come se fosse un'estrazione e cioè nel seguente modo:

la prima persona avrà una data qualsiasi di compleanno

la seconda persona che scegliamo a caso (che ne so, immaginate di chiedere uno ad uno ai passeggeri di un treno), avrà 1 probabilità su 365 di fare il compleanno lo stesso giorno della prima

la terza persona avrà 2 possibilità su 365

la quarta avrà 3/365.... e così via fino ad arrivare all'ultima che avrà 365 su 365 cioè la certezza, di avere la propria data che coincide con una già sorteggiata in precedenza.

In questo modo io ottenevo che, ad esempio, avendo già un gruppo di 50 persone con date uno diversa dall'altra, la 51esima avrebbe avuto 50\365 probabilità di far coincidere la propria data, cioè circa una possibilità su 7.

Così non è.

Stando alla formula con 50 persone abbiamo circa il 97% di possibilità di trovare una coincidenza..

qui il link di wiki dove viene spiegato il procedimento matematico:

http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_del_compleanno

quindi la mia domanda è questa:

Perchè non si può applicare il paradosso del compleanno anche ai numeri della roulette?

Estrarre una ad una delle persone fino a che non si trova un "doppione" non è uguale ad aspettare un numero ripetuto all'interno di una permanenza?

In questo caso già alla quinta estrazione, dovremmo avere il 97% di probabilità di imbatterci in una ripetizione.. perchè questo non succede?

Non è come stai dicendo, jackjoliet. O meglio, la singola probabilità del singolo evento è quello che tu dici, ma della combinazione non ne parli. È verissimo che il secondo ha 1/365 di probabilità ed è anche verissimo che il terzo ha 2/365 e così via. Ma sbagli se prendi il singolo caso e lo paragoni all'intera sequenza. La 51esima persona ha 50/365 di probabilità di avere il suo compleanno lo stesso giorno di uno tra 50 persone che hanno il compleanno diverso, ma la sequenza, ovvero la probabilità di pescare 51 persone di fila con il compleanno diverso è bassissima. Questo è importante, altrimenti non si comprende.

Esempio: ho un dado a 6 facce e voglio che esca il numero 5. Il primo lancio ha 1/6 di probabilità, il secondo pure, il terzo pure. Ma non diremo certo che la probabilità di trovare un 5 in tre lanci è di 1/6! Eppure così hai fatto intendere nel sostenere che il 51esimo uomo ha 50/365 di probabilità. Lui da solo certo che ce l'ha, ma per arrivare alla 51esima persona abbiamo dovuto affrontare una probabilità multipla. Il calcolo si fa utilizzando l'ipotesi opposta e sottraendola alla fine dalla percentuale del 100%. Per cui, nel caso del dado si ipotizza "che probabilità ho in tre lanci di NON trovare il numero 5?", sapendo ovviamente che l'opposto di questo significherebbe trovarlo. Allora al primo lancio ho 5/6, al secondo anche e al terzo anche. Bene, quindi la probabilità P è uguale a 5/6*5/6*5/6, ovvero P=57,87%. Il suo inverso, ovvero la probabilità di TROVARE il numero 5 è uguale a 100-P, cioè uguale a 42,13%. La stessa cosa succede, con calcoli più complessi, per il discorso del compleanno. La probabilità che NON ci sia un compleanno uguale sarà dato da 364/365*363/365*362/365... ecc. Alla fine vale la stessa regola del dado e quindi, per trovare la probabilità che CI SIA un compleanno ripetuto si farà 100-P con P che è la probabilità calcolata del NON trovare la ripetizione.

Prendendo in mano una roulette e cercando la ripetizione di un pieno, le probabilità di ripetizione sono le seguenti:

Tiro 1 - Esce un pieno qualunque

Tiro 2 - 2,7% (36/37) *100

Tiro 3 - 7,96% (1 - 36/37*35/37) *100

Tiro 4 - 15,42% (1 - 36/37*35/37*34/37) *100

Tiro 5 - 24,57% (1 - 36/37*35/37*34/37*33/37) *100

Tiro 6 - 34,76% (1 - 36/37*35/37*34/37*33/37*32/37) *100

ecc.

Ovviamente, ripeto sempre, il calcolo vale SOLAMENTE se lo si considera dall'inizio. Aspettare di non vedere una ripetizione per, ad esempio, 5 lanci, e poi iniziare a puntare, non ha la stessa probabilità di successo di puntare sempre dal primo lancio in poi, ma ovviamente ha probabilità del tutto differenti e per ogni singolo caso andrebbe applicata la formula.

[Kalel]

Estrarre una ad una delle persone fino a che non si trova un "doppione" non è uguale ad aspettare un numero ripetuto all'interno di una permanenza?

No.

Quello che il Prof ha chiesto (e che ho calcolato) è la prob. che, "fissato un numero", questo esca almeno un'altra volta nei successivi 34 lanci (35 in tutto) su 36. Come calcolare, data una persona che è nata il 6 gennaio, la prob. che almeno un'altra sia nata il 6 gennaio.

Quello che espone l'articolo corrisponde alla prob. che "due numeri qualsiasi" doppino (almeno) in un tot di lanci.

In questo caso la prob. è si alta... infatti su 36 numeri e altrettanti lanci, mediamente si hanno 12 ripetizioni (la famosa "legge del terzo").

[jackjoliet]

Esempio: ho un dado a 6 facce e voglio che esca il numero 5. Il primo lancio ha 1/6 di probabilità, il secondo pure, il terzo pure. Ma non diremo certo che la probabilità di trovare un 5 in tre lanci è di 1/6! Eppure così hai fatto intendere nel sostenere che il 51esimo uomo ha 50/365 di probabilità.

Ho fatto intendere questo? non volevo, provo a ripetere usando il tuo esempio:

Se lancio il dado una volta ho 1/6 di probabilità che esca il numero 5. Se non esce il 5 uscirà un altro numero ad. esempio il 4.

Se lancio la seconda volta avrò 2/6 di probabilità che esca il numero 5 o il numero 4 già precedentemente uscito. Se non escono vuol dire che ne uscito uno nuovo, ad esempio il 3.

Quando lancio il dado la terza volta ho 3/6 di probabilità (non 1/6) che esca il 5 o uno dei numeri già usciti, quindi ho il 50% delle probabilità.

Questo era quello che ho detto.

Allo stesso modo (tornando al compleanno) il 51esimo uomo avrà 50/360 probabilità cioè circa 1/7 (non 1/360) di avere il compleanno che coincide con uno già presente.

Quello che espone l'articolo corrisponde alla prob. che "due numeri qualsiasi" doppino (almeno) in un tot di lanci.

In questo caso la prob. è si alta... infatti su 36 numeri e altrettanti lanci, mediamente si hanno 12 ripetizioni (la famosa "legge del terzo").

Ma a quale articolo ti riferisci, al link di wikipedia?

In quel caso non c'è riferimento ad un "tot di lanci", ma semplicemente si fa riferimento a come, all'aumentare del numero di lanci (o di boule, o di persone che entrano nella stanza), aumenti la probabilità di trovare un doppione.

Anche io avrei puntato sulla legge del terzo, ma a quanto pare non è così dato che già dopo 5 estrazioni su 36 siamo ad una probabilità del 97% di incontrare una ripetizione.

Non mi sembra che la rula ci faccia questi regali..

[Kalel]

Anche io avrei puntato sulla legge del terzo, ma a quanto pare non è così dato che già dopo 5 estrazioni su 36 siamo ad una probabilità del 97% di incontrare una ripetizione.

Non mi sembra che la rula ci faccia questi regali..

La prob. che in 6 estrazioni ci sia almeno un doppio è: 1 - (35/36 * 34/36 * 33/36 * 32/36 * 31/36) = 36% circa

Da dove esce quel 97%?

[jackjoliet]

Esce dal fatto che ho paragonato il gruppo di persone del "paradosso del compleanno" ai 36 numeri della roulette.

Non capisco perchè dovrebbe essere diverso.

Il paradosso afferma che (copio\incollo) :

" la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno...."

e non dice se questo gruppo di persone sono già tutte insieme o vengono fatte entrare una ad una in una stanza.. quindi è molto simile ad estrarre dei numeri fino a quando non si trova un doppione.

Oppure, se ipotizziamo un gruppo di persone già predefinito, questo corrisponderebbe a prendere una permanenza qualsiasi di numeri e vedere se dentro c'è il doppione.

In ogni caso se con un gruppo di 50 persone su 360 la probabilità di incontrare un doppione è del 97% (fonte wikipedia) io nella mia beata ignoranza sarei portato a dire che si ottiene la stessa proporzione mettendo in relazione 5 numeri su 36

[Kalel]

se con un gruppo di 50 persone su 360 la probabilità di incontrare un doppione è del 97% (fonte wikipedia) io nella mia beata ignoranza sarei portato a dire che si ottiene la stessa proporzione mettendo in relazione 5 numeri su 36

Ah ora ho capito però il rapporto tra il caso dei compleanni e la roulette non è lineare, quindi la proporzione che hai fatto non va bene.

Se guardi la formula che c'è nell'articolo e sostituisci 35 al posto di 364 e 36 al posto di 365, vedrai che per 5 estrazioni (p) ottieni il 25% e per p=6 quel 36% circa che avevo calcolato.

[il Prof.]

Ma infatti il calcolo probabilistico resta sempre quello che ho rappresentato io. La differenza sta nel fatto che una sequenza di lanci è ben diversa dal singolo lancio e va quindi calcolata nel modo giusto. Nell'esempio più semplice del dado, cercando la ripetizione come hai indicato, si procede sempre allo stesso modo:

Tiro 1 - Esce un numero qualsiasi

Tiro 2 - 1/6 di probabilità che ci sia una ripetizione

Tiro 3 - Il singolo tiro ha 2/6 di probabilità di essere una ripetizione dei due numeri precedenti, ma per far sì che si formassero due numeri diversi nei due tiri precedenti è servito che non uscisse lo stesso numero del tiro 1, quindi una difficoltà in più da aggiungere al terzo tiro. Non basta guardare la singola probabilità, ma vanno unite tutte.

Spero di essermi spiegato bene.

(il sistema di scrittura dà diversi problemi)

Modificato: 21 novembre 2014 da il Prof.